Die Mandelbrotmenge als Inhaltsverzeichnis für zahllose Juliamengen

Ein Klick auf die interessanten Stellen des linken Bildes (Mandelbrotmenge) und die zugehörige Juliamenge erscheint im rechten Feld.

Hintergrundinformation und Beschreibung des MIIM Algorithmus zu Berechnung der Juliamenge

1. Die Mandelbrotmenge ( linkes Bild des Java-Applets )

Die Mandelbrotmenge wurde von Benoit Mandelbrot während seiner Forschungsarbeiten bei IBM, entdeckt. Die Menge ist eine Teilmenge der Komplexen Zahlen und läßt sich als eine endliche Fläche mit unendlich langem Umfang beschreiben. Man findet sie im folgendem Bereich: Real = -2..2 und Imaginär = -2..2. Damit der Umfang unendlich lang wird windet er sich in sehr diffiziler und unerwartet ästhetischer Weise. Die detaillierte Struktur des Umfanges setzt sich bis in die unendlich kleinsten Dimensionen fort. Ihr Erscheinungsbild ist geradezu barock. Mathematisch läßt sich die Menge, die im folgenden nur noch als M bezeichnet wird, wie folgt beschreiben.

Eine komplexe Zahl C gehört zu M, wenn der Betrag der komplexen Zahl Z nach unendlich vielen Wiederholungen der folgenden Iteration endlich ist.

Z(n+1) = Z(n)^2 + C mit Z(0) = 0 + 0i

Auf den programmierten Algorithmus wird hier nicht im Detail eingegangen, da die Juliamenge im Mittelpunkt steht, es sei hier nur gesagt daß wegen der nicht realisierbaren Anzahl von unendlich vielen Iterationen, Vereinfachungen getroffen werden und somit eine Annäherung an M errechnet wird. Je höher man den Rechenaufwand wählt, um so genauer das Ergebnis.

Es läßt sich beweisen, daß alle Elemente von M miteinander verbunden sind, wie die Wassermoleküle in einem See. Es gibt also keine Inseln von einzelnen Elementen oder Elementgruppen, die zu M gehören.

2. Die Juliamenge ( rechtes Bild des Java Applets )

Die Juliamenge entdeckt vom französischen Mathematiker Gaston Julia ist stark verwandt mit der Mandelbrotmenge. Sie hat auch visuell viele Ähnlichkeiten zur Mandelbrotmenge, doch dazu später mehr. Der Zusammenhang der beiden Mengen ist auch in der Weise ihrer Definition zu erkennen. Ein großer Unterschied besteht jedoch darin, daß es unendlich viele Juliamengen gibt und zwar für jedes Element der komplexen Ebene eine. Dazu die mathematische Beschreibung der Menge.

Gegeben sei ein Element C der komplexen Zahlen. Für dieses Element ist die Juliamenge J( C ) wie folgt definiert:

Eine komplexe Zahl P gehört zu J( C ), wenn der Betrag der komplexen Zahl Z nach unendlich vielen Wiederholungen der folgenden Iteration endlich ist.

Z(n+1) = Z(n)^2 + C mit Z(0) = P

Eine interessante Eigenschaft von J( C ) ist, daß sie den "Reichtum" und die Formen der Mandelbrotmenge in der näheren Umgebung von C hat.

Außerdem gilt für J( C ), wenn C Element von M ist, das selbe wie für die Mandelbrotmenge. Alle Elemente sind verbunden und es gibt keine Inseln. Ist C nicht Element von M so ist J( C ) unendlich fragmentiert. Die Schlußfolgerung die wir daraus ziehen, die aber nicht richtig sein muß ist folgende. Ist C nicht Element von M so ist J( C ) eine leere Menge und somit nicht existent. Statt dessen existiert nur eine scheinbare Andeutung von J( C ). Hier tut sich eine interessante Parallele auf. Je mehr Energie wir in die Forschung nach dem kleinstem Teilchen, also dem Elementarteilchen investieren, um so strukturierter zeigt sich uns die Materie. Also um genau zu werden. Es geht um folgende Frage: Ist die Materie unendlich oft teilbar, oder ist Materie ähnlich zu verstehen wie die angedeutete Juliamenge J( C ) mit C nicht Element von M. Neueste Ergebnisse auf der Suche nach dem kleinsten Teilchen lassen diese Frage wieder offen. Mit der Entdeckung des Top-Quarks sind Hinweise auf strukturierte Quarks wahrgenommen wurden, nachzulesen im Spektrum der Wissenschaft Ausgabe Dezember 1997. Sollte unsere Welt wirklich Schein sein?

3. Der MIIM Algorithmus zur schnellen Berechnung der Juliamenge

Das Kürzel MIIM steht für Modifizierte Inverse Iterationsmethode. Bei dieser Methode rechnet man nicht für diskrete Punkte der komplexen Ebene aus, ob sie zu J gehören, sondern man kehrt die Iterationsvorschrift um und nutzt die Tatsache aus, daß die inverse Iterationsvorschrift für Z( n ) einen Punkteorbit ergibt, dessen Attraktor der Umfang der Juliamenge ist. Hierzu sollte erst einmal der Begriff Attraktor geklärt werden. Attraktor hat den selben Wortstamm wie das Adjektiv attraktiv und bedeutet auch ähnliches. Ein Attraktor ist ein Gebilde das etwas anderes anzieht. So ist der Attraktor einer Pendelbewegung mit Reibung der Punkt der Ruhelage des Pendels, da die Bewegungen des Pendel immer wieder diesem Punkt zustreben und schließlich in ihm enden. Man könnte auch eine waagerechte Asymptote der Analysis als Attraktor betrachten. Damit jedoch kein Unverständnis auftritt hier die inverse Iterationsvorschrift für J( C ), wobei "sqrt" für die komplexe Quadratwurzel steht.

Z( n + 1 ) = sqrt( Z( n ) – C ) mit Z( 0 ) = beliebiger Punkt z.B. 1 + 1i

Die Wahl von Z( 0 ) ist tatsächlich egal, da der Punkteorbit der Iteration tatsächlich für alle Werte von Z( 0 ) als Attraktor den Umfang der Juliamenge hat.

Heil Diskordia